CLASIFICACIÓN DE LOS POLIGONOS

Según sus lados:

Triángulos

Tienen 3 lados.

Cuadriláteros

Tienen 4 lados.

Pentágonos

Tienen 5 lados.

Hexágonos

Tienen 6 lados.

Heptágonos

Tienen 7 lados.

Octágono

Tienen 8 lados.

Eneágono

Tienen 9 lados.

Decágono

Tienen 10 lados.

Endecágono

Tienen 11 lados.

Dodecágono

Tienen 12 lados.

Tridecágono

Tienen 13 lados.

Tetradecágono

Tienen 14 lados.

Pentadecágono

Tienen 15 lados.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Según sus ángulos:

Convexos

Todos sus ángulos menores que 180°.

Todas sus diagonales son interiores.

                  

  Cóncavos

   Si un ángulo mide más de 180°.

   Si una de sus diagonales es exterior.

                    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MODELOS MATEMÁTICOS PARA DETERMINAR ANGULOS Y DIAGONALES EN POLIGONOS CONVEXOS

Ángulo interior El ángulo interior de un polígono regular de "n" lados se calcula con la fórmula: (n-2) × 180° / n Por ejemplo el ángulo interior de un octágono (8 lados) es: (8-2) × 180° / 8 = 6×180°/8 = 135°     Y el de un cuadrado es (4-2) × 180° / 4 = 2×180°/4 = 90°

  

Ángulo exterior Los ángulos exterior e interior se miden sobre la misma línea, así que suman 180°. Por lo tanto el ángulo exterior es simplemente 180° - ángulo interior El ángulo interior de este octágono es 135°, así que el ángulo exterior es 180°-135° = 45°   El ángulo interior de un hexágono es 120°, así que el ángulo exterior es 180°-120° = 60°

  

Diagonales Todos los polígonos (menos los triángulos) tienen diagonales (líneas que van de un vértice a otro, pero que no son lados). El número de diagonales es n(n - 3) / 2. Ejemplos: un cuadrado tiene 4(4-3)/2 = 4×1/2 = 2 diagonales un octágono tiene 8(8-3)/2 = 8×5/2 = 20 diagonales (Nota: esto vale para polígonos regulares e irregulares)

 

MODELOS MATEMÁTICOS PARA CALCULAR ÁREAS EN POLÍGONOS REGULARES 

 

Área

Ahora es fácil calcular el área... ¡sólo sumar las áreas de todos los triángulos!

El área de un triángulo es la mitad de la base por la altura, así que:

Área del triángulo pequeño = ½ × Apotema × (Lado/2)

Y sabemos (por la fórmula con "tan" de arriba) que:

Lado = 2 × Apotema × tan(π/n)

Así que:	Área del triángulo pequeño	= ½ × Apotema × (Apotema × tan(π/n))
		= ½ × Apotema2 × tan(π/n)

Y hay dos triángulos por lado, o sea 2n en todo el polígono:

Área del polígono = n × Apotema² × tan(π/n)

Otras fórmulas del área

Si no sabes cuánto mide el apotema, podemos sacar fórmulas con el radio y el lado:

Área del polígono = ½ × n × Radio² × sin(2 × π/n)

Área del polígono = ¼ × n × Lado² / tan(π/n)

 

PROBLEMAS Y EJERCICIOS PARA CALCULAR ÁREAS

•  Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular:

a)Las hectáreas que tiene.

A = 170 · 28 = 4 760 m²

4 760 : 10 000 = 0. 476 ha

 

b)El precio del campo si el metro cuadrado cuesta 15 €.

4 760 · 15 = 71 400 €

 

• Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada uno.

                                                           10            100  = 50

                                                  x10              2

A = (10 · 10) : 2 = 50 cm²   100

 

 

 

 

 

• Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces más que su altura.

                                                            h = 2 cm                                       2                6

                                                            b = 2 · 3 = 6 cm                         x3              x2

                                                            A = 2 · 6 = 12 cm²                      6                12

 

LUGARES GEOMETRICOS QUE SE RELACIONAN CON LA CIRCUNFERENCIA

 

El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un punto de la circunferencia se llama radio.

La ecuación de la circunferencia con centro en C(a, b) y radio r, es

√ x − a + y − b = r Û 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 (x − a) + ( y − b) = r

 

"Circunferencia inscrita, circunscrita, radio y apotema ... "
 son los nombres de los círculos "exterior" e "interior" (y sus radios) que se pueden dibujar en un polígono regular, así:

La circunferencia "exterior" se llama circunscrita (a veces también "circuncírculo"), y conecta los vértices del polígono. La circunferencia "interior" se llama inscrita (a veces también "incírculo"), y toca cada lado del polígono en el punto medio. El radio de la circunferencia circunscrita es también el radio del polígono. El radio de la circunferencia inscrita es el apotema del polígono.

 

 

TEOREMAS DE ÁNGULOS DENTRO, SOBRE Y FUERA DE LA CIRCUNFERENCIA

Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

                               Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

                                                        Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

                                                           Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

 

Ángulo exterior

 

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS DE ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

 

• La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?

                                            r = 90 : 100 = 0.9 m

                                                 L = 2 · π · 0.9 = 5.65 m

                                                       5.65 · 100 = 565 m

 

• El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

                                                        
                                                 
                                                    
                                                    

 

• Dadas dos circunferencias concéntricas de radio 8 y 5 cm respectivamente, se trazan los radios OA y OB, que forman un ángulo de 60°. Calcular el área del trapecio circular formado.

               

 

• En un parque de forma circular de 700 m de radio hay situada en el centro una fuente, también de forma circular, de 5 m de radio. Calcula el área de la zona de paseo.

                                

 

 

 

 

 

 

 

 

• La superficie de una mesa está formada por una parte central cuadrada de 1 m de lado y dos semicírculos adosados en dos lados opuestos. Calcula el área.

                                           

                                                
                                              

 

 

MODELOS MATEMÁTICOS PARA DETERMINAR PERÍMETRO Y ÁREA DE LA CIRCUNFERENCIA. Y MODELOS MATEMÁTICOS PARA DETERMINAR VOLUMENES.

Área

La curva denominada circunferencia, encierra en su interior una superficie. Esta superficie se llama área de la circunferencia.

Existe una fórmula muy sencilla que nos permite calcular cuál es el área encerrada dentro de la circunferencia sólo sabiendo cuando mide el radio de la circunferencia.

Llamemos r  al radio de la circunferencia, entonces el área de la circunferencia será:

A = π * r²

Veamos un ejemplo de como podemos calcular el área de una circunferencia.

r=0 

En la circunferencia de la imagen expuesta arriba se ve claramente que el área encerrada por la circunferencia es la que está en color blanco. En este caso la variable r toma el valor r  =10 cm. El área se calcularía de la siguiente forma: 

                                                      A=π * r² = π x  10² = 314,16 cm²

 

Perímetro

Dada una circunferencia, el perímetro de una circunferencia es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida.

De igual manera que para el área, existe una expresión que nos permite saber la longitud (o perímetro) de la circunferencia sólo conociendo su radio r  .

La expresión es la siguiente:

                                                                  P = 2x π x r²

 

Veámoslo más claro con un ejemplo:

Tomemos la circunferencia del ejemplo anterior, que volvemos a representar a continuación:

De nuevo el parámetro  r es  r= 10 cm.

Aplicando la fórmula explicada anteriormente se obtiene:

                                                  P= 2 x π x r = 2 x π x 10= 62,83 cm

 

Por tanto, el resultado es que el perímetro vale 62,83 cm.

 

Volumen

El volumen es el espacio que ocupan los cuerpos.

Los cuerpos geométricos existen en el espacio y son por lo tanto objetos que tienen tres dimensiones (ancho, alto y largo) limitados por una o más superficies. Si todas las superficies son planas y de contorno poligonal, el cuerpo es un poliedro. Si el cuerpo no está limitado por polígonos, sino por superficies curvadas recibe el nombre de cuerpos redondos.

La fórmula para  calcular el volumen de un cuerpo depende de su forma.

Para medir el volumen de un cuerpo se utilizan unidades cúbicas, que son: milímetro cúbico, centímetro cúbico, decímetro cúbico y metro cúbico

mm3, cm3, dm3, m3

 

Para determinar el volumen de los cuerpos geométricos se debe tener en cuenta lo siguiente:

1.- El volumen de un cubo es igual al cubo de uno de sus lados, esto se expresa como:

                                                               V = l³

2.- El volumen de un prisma es igual al producto del área de la base por la altura, esto se expresa como:

                                                              V = Bh

3.- El volumen de un cilindro es igual al producto de p por el cuadrado del radio por la altura, esto se expresa como:

V = Π r² h

4.- El volumen de una pirámide es igual a la tercera parte del producto del área de la base por la altura, lo cual se expresa como:

V = B h  ÷  (dividido o partido por)  3

 

5.- El volumen del cono es igual a la tercera parte del producto de pi por el cuadrado del radio por la altura, lo cual se expresa como:

Π r² h  ÷  (dividido o partido por)  3

 

 

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA APLICACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA DETERMINAR VOLUMENES

• La altura de un prisma pentagonal es de 20 cm y sus bases miden 16 cm por lado y 11 cm de apotema, ¿cuál es su volumen?

Los datos con los que se cuenta son:

longitud de los lados = 16 cm

longitud del apotema (a) = 11 cm

altura del prisma = 20 cm

 

Primero se procede a determinar el área de la base (B):

 

El perímetro (P) se halla multiplicando la longitud de uno de los lados por cinco, ya que se trata de un pentágono.

Sustituyendo valores se tiene:

 

Una vez que se tiene el área de la base, se determina el volumen de este prisma con la fórmula V = Bh

 

Sustituyendo valores se tiene:

V = 440 cm² ( 20 cm ) = 8.800 cm³

 

Esto indica que el volumen de este prisma pentagonal es de 8.800 cm³.

 

• Si la base de una pirámide rectangular tiene por dimensiones 10 dm de largo y 8 dm de ancho, y la altura de la pirámide es de 15 dm, ¿cuál es su volumen?

Los datos con que se cuenta son:

largo de la base = 10 dm

ancho de la base = 8 dm

altura de la pirámide = 15 dm

 

Se determina el área de la base (B):

B = largo x ancho

 

Sustituyendo valores:

B = 10 dm (8 dm) = 80 dm²

 

Se aplica la fórmula para calcular el volumen de una pirámide:

Sustituyendo valores:

V = 80 dm² (15 dm) = 1.200 dm³

 

El volumen de esta pirámide rectangular es de 1.200 dm³ 

 

VOLUMEN DE UNA ESFERA

 

En el caso de una esfera (cuerpo limitado por una superficie esférica, es decir, es la superficie que se crea cuando una semicircunferencia gira en torno a su diámetro) el volumen se calcula usando la siguiente fórmula:

Volumen esfera  :  4 / 3 ·  p · R ³

p = 3,1415...

R  =     Radio

 

•  Si el radio de una circunferencia es de 4 cm . ¿Cuál será su volumen?

                               V  =    4 /  3  · 3.1415..  · ( 4 ) ³

                                             V  =   4 / 3   ·  3,1415..·   64

                               V  =    804,24772.                  

                                                 3          

                               V  =    268,08  cm ³

El diámetro corresponde a la medida de dos radios y es el segmento de mayor longitud que gira dentro de la circunferencia.

 

 

ANDREA OGARRIO RAMÍREZ

GRUPO: 209

COBAO 04 "EL TULE "